求解 -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -4 替换 a，20 替换 b，并用 -47 替换 c。

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

对 20 进行平方运算。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

求 -4 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

求 16 与 -47 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

将 -752 加上 400。

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

取 -352 的平方根。

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

求 2 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} 的解。 将 4i\sqrt{22} 加上 -20。

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

-20+4i\sqrt{22} 除以 -8。

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} 的解。 将 -20 减去 4i\sqrt{22}。

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

-20-4i\sqrt{22} 除以 -8。

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

在等式两边同时加 47。

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

-47 减去它自己得 0。

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

将 0 减去 -47。

$$-4x^{2}+20x=47$$

两边同时除以 -4。

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

除以 -4 是乘以 -4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

20 除以 -4。

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

47 除以 -4。

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

将 x 项的系数 -5 除以 2 得 -\frac{5}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

将 \frac{25}{4} 加上 -\frac{47}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

因数 x^{2}-5x+\frac{25}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{2}。

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$