求解 -4x^2+16x+272>0

$$-4 { x }^{ 2 } +16x+272 > 0$$

求解 x 的值

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$

运用二次公式的步骤

将不等式乘以 -1，以使 -4x^{2}+16x+272 中最高次幂的系数为正数。 由于 -1 为负，因此不等式的方向改变。

$$4x^{2}-16x-272<0$$

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$4x^{2}-16x-272=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 -16 替换 b、用 -272 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-272\right)}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$x=\frac{16±48\sqrt{2}}{8}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{16±48\sqrt{2}}{8} 的解。

$$x=6\sqrt{2}+2 x=2-6\sqrt{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$4\left(x-\left(6\sqrt{2}+2\right)\right)\left(x-\left(2-6\sqrt{2}\right)\right)<0$$

若要使积为负，x-\left(6\sqrt{2}+2\right) 和 x-\left(2-6\sqrt{2}\right) 的正负号必须相反。 考虑 x-\left(6\sqrt{2}+2\right) 为正，且 x-\left(2-6\sqrt{2}\right) 为负的情况。

$$x-\left(6\sqrt{2}+2\right)>0 x-\left(2-6\sqrt{2}\right)<0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x-\left(2-6\sqrt{2}\right) 为正，且 x-\left(6\sqrt{2}+2\right) 为负的情况。

$$x-\left(2-6\sqrt{2}\right)>0 x-\left(6\sqrt{2}+2\right)<0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)。

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$