求解 -16x^2-4x+382=0

$$-16 { x }^{ 2 } -4x+382=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{1529} - 1}{8} \approx 4.762803699$$

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}\approx -5.012803699$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -16 替换 a，-4 替换 b，并用 382 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

求 -4 与 -16 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

求 64 与 382 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24448}}{2\left(-16\right)}$$

将 24448 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{24464}}{2\left(-16\right)}$$

取 24464 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

求 2 与 -16 的乘积。

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32} 的解。 将 4\sqrt{1529} 加上 4。

$$x=\frac{4\sqrt{1529}+4}{-32}$$

4+4\sqrt{1529} 除以 -32。

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32} 的解。 将 4 减去 4\sqrt{1529}。

$$x=\frac{4-4\sqrt{1529}}{-32}$$

4-4\sqrt{1529} 除以 -32。

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

将等式的两边同时减去 382。

$$-16x^{2}-4x+382-382=-382$$

382 减去它自己得 0。

$$-16x^{2}-4x=-382$$

两边同时除以 -16。

$$\frac{-16x^{2}-4x}{-16}=-\frac{382}{-16}$$

除以 -16 是乘以 -16 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-16}\right)x=-\frac{382}{-16}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-4}{-16} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{382}{-16}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-382}{-16} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{191}{8}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{4} 除以 2 得 \frac{1}{8}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{191}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{191}{8}+\frac{1}{64}$$

将 \frac{1}{64} 加上 \frac{191}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1529}{64}$$

对 x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1529}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1529}{64}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{1529}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{1529}}{8}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{8}。

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$