求解 -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

求解 x 的值

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88.931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1.068234727$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+90x-75=20$$

将等式的两边同时减去 20。

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

20 减去它自己得 0。

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

将 -75 减去 20。

$$-x^{2}+90x-95=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，90 替换 b，并用 -95 替换 c。

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 90 进行平方运算。

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 -95 的乘积。

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

将 -380 加上 8100。

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

取 7720 的平方根。

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} 的解。 将 2\sqrt{1930} 加上 -90。

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

-90+2\sqrt{1930} 除以 -2。

$$x=45-\sqrt{1930}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} 的解。 将 -90 减去 2\sqrt{1930}。

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

-90-2\sqrt{1930} 除以 -2。

$$x=\sqrt{1930}+45$$

现已求得方程式的解。

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}+90x-75=20$$

在等式两边同时加 75。

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

-75 减去它自己得 0。

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

将 20 减去 -75。

$$-x^{2}+90x=95$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

90 除以 -1。

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

95 除以 -1。

$$x^{2}-90x=-95$$

将 x 项的系数 -90 除以 2 得 -45。然后在等式两边同时加上 -45 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

对 -45 进行平方运算。

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

将 2025 加上 -95。

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

因数 x^{2}-90x+2025。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

化简。

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

在等式两边同时加 45。

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$