求解 -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

求解 x 的值

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11.937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3.937253933$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+8x+47=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，8 替换 b，并用 47 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 47 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

将 188 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

取 252 的平方根。

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} 的解。 将 6\sqrt{7} 加上 -8。

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

-8+6\sqrt{7} 除以 -2。

$$x=4-3\sqrt{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} 的解。 将 -8 减去 6\sqrt{7}。

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

-8-6\sqrt{7} 除以 -2。

$$x=3\sqrt{7}+4$$

现已求得方程式的解。

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}+8x+47=0$$

将等式的两边同时减去 47。

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

47 减去它自己得 0。

$$-x^{2}+8x=-47$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

8 除以 -1。

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

-47 除以 -1。

$$x^{2}-8x=47$$

将 x 项的系数 -8 除以 2 得 -4。然后在等式两边同时加上 -4 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

将 16 加上 47。

$$x^{2}-8x+16=63$$

因数 x^{2}-8x+16。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

化简。

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

在等式两边同时加 4。

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$