求解 -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3.924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1.924988129$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -9 替换 a，18 替换 b，并用 68 替换 c。

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

对 18 进行平方运算。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

求 -4 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

求 36 与 68 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

将 2448 加上 324。

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

取 2772 的平方根。

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

求 2 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} 的解。 将 6\sqrt{77} 加上 -18。

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

-18+6\sqrt{77} 除以 -18。

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} 的解。 将 -18 减去 6\sqrt{77}。

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

-18-6\sqrt{77} 除以 -18。

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

将等式的两边同时减去 68。

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

68 减去它自己得 0。

$$-9x^{2}+18x=-68$$

两边同时除以 -9。

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

除以 -9 是乘以 -9 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

18 除以 -9。

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

-68 除以 -9。

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

将 x 项的系数 -2 除以 2 得 -1。然后在等式两边同时加上 -1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

将 1 加上 \frac{68}{9}。

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

因数 x^{2}-2x+1。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

化简。

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

在等式两边同时加 1。

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$