求解 -5n^2+251n-7020=0

$$- 5 n ^ { 2 } + 251 n - 7020 = 0$$

求解 n 的值

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10}\approx 25.1-27.820675765i$$

$$n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10}\approx 25.1+27.820675765i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-5n^{2}+251n-7020=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -5 替换 a，251 替换 b，并用 -7020 替换 c。

$$n=\frac{-251±\sqrt{251^{2}-4\left(-5\right)\left(-7020\right)}}{2\left(-5\right)}$$

对 251 进行平方运算。

$$n=\frac{-251±\sqrt{63001-4\left(-5\right)\left(-7020\right)}}{2\left(-5\right)}$$

求 -4 与 -5 的乘积。

$$n=\frac{-251±\sqrt{63001+20\left(-7020\right)}}{2\left(-5\right)}$$

求 20 与 -7020 的乘积。

$$n=\frac{-251±\sqrt{63001-140400}}{2\left(-5\right)}$$

将 -140400 加上 63001。

$$n=\frac{-251±\sqrt{-77399}}{2\left(-5\right)}$$

取 -77399 的平方根。

$$n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{2\left(-5\right)}$$

求 2 与 -5 的乘积。

$$n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{-10}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{-10} 的解。 将 i\sqrt{77399} 加上 -251。

$$n=\frac{-251+\sqrt{77399}i}{-10}$$

-251+i\sqrt{77399} 除以 -10。

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{-10} 的解。 将 -251 减去 i\sqrt{77399}。

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i-251}{-10}$$

-251-i\sqrt{77399} 除以 -10。

$$n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10} n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-5n^{2}+251n-7020=0$$

在等式两边同时加 7020。

$$-5n^{2}+251n-7020-\left(-7020\right)=-\left(-7020\right)$$

-7020 减去它自己得 0。

$$-5n^{2}+251n=-\left(-7020\right)$$

将 0 减去 -7020。

$$-5n^{2}+251n=7020$$

两边同时除以 -5。

$$\frac{-5n^{2}+251n}{-5}=\frac{7020}{-5}$$

除以 -5 是乘以 -5 的逆运算。

$$n^{2}+\frac{251}{-5}n=\frac{7020}{-5}$$

251 除以 -5。

$$n^{2}-\frac{251}{5}n=\frac{7020}{-5}$$

7020 除以 -5。

$$n^{2}-\frac{251}{5}n=-1404$$

将 x 项的系数 -\frac{251}{5} 除以 2 得 -\frac{251}{10}。然后在等式两边同时加上 -\frac{251}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}-\frac{251}{5}n+\left(-\frac{251}{10}\right)^{2}=-1404+\left(-\frac{251}{10}\right)^{2}$$

对 -\frac{251}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}-\frac{251}{5}n+\frac{63001}{100}=-1404+\frac{63001}{100}$$

将 \frac{63001}{100} 加上 -1404。

$$n^{2}-\frac{251}{5}n+\frac{63001}{100}=-\frac{77399}{100}$$

因数 n^{2}-\frac{251}{5}n+\frac{63001}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{251}{10}\right)^{2}=-\frac{77399}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{251}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77399}{100}}$$

化简。

$$n-\frac{251}{10}=\frac{\sqrt{77399}i}{10} n-\frac{251}{10}=-\frac{\sqrt{77399}i}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{251}{10}。

$$n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10} n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10}$$