求解 -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

求解 b 的值

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5.311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0.188262309$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -4 替换 a，22 替换 b，并用 -4 替换 c。

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

对 22 进行平方运算。

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

求 -4 与 -4 的乘积。

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

求 16 与 -4 的乘积。

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

将 -64 加上 484。

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

取 420 的平方根。

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

求 2 与 -4 的乘积。

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

现在 ± 为加号时求公式 b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} 的解。 将 2\sqrt{105} 加上 -22。

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

-22+2\sqrt{105} 除以 -8。

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} 的解。 将 -22 减去 2\sqrt{105}。

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

-22-2\sqrt{105} 除以 -8。

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

在等式两边同时加 4。

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 减去它自己得 0。

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

将 0 减去 -4。

$$-4b^{2}+22b=4$$

两边同时除以 -4。

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

除以 -4 是乘以 -4 的逆运算。

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{22}{-4} 降低为最简分数。

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

4 除以 -4。

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

将 x 项的系数 -\frac{11}{2} 除以 2 得 -\frac{11}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

将 \frac{121}{16} 加上 -1。

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

对 b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

化简。

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{4}。

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$