求解 -4a^2-5a+1=0

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

求解 a 的值

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0.17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1.42539053$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -4 替换 a，-5 替换 b，并用 1 替换 c。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

对 -5 进行平方运算。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

求 -4 与 -4 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

将 16 加上 25。

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

-5 的相反数是 5。

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

求 2 与 -4 的乘积。

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} 的解。 将 \sqrt{41} 加上 5。

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

5+\sqrt{41} 除以 -8。

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} 的解。 将 5 减去 \sqrt{41}。

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

5-\sqrt{41} 除以 -8。

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$-4a^{2}-5a=-1$$

两边同时除以 -4。

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

除以 -4 是乘以 -4 的逆运算。

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

-5 除以 -4。

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

-1 除以 -4。

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

将 x 项的系数 \frac{5}{4} 除以 2 得 \frac{5}{8}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

将 \frac{25}{64} 加上 \frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

因数 a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

化简。

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{8}。

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$