求解 -30x^2+18x-3000=150

$$- 30 x ^ { 2 } + 18 x - 3000 = 150$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{3+\sqrt{10491}i}{10}\approx 0.3+10.242558274i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10491}i+3}{10}\approx 0.3-10.242558274i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-30x^{2}+18x-3000=150$$

将等式的两边同时减去 150。

$$-30x^{2}+18x-3000-150=150-150$$

150 减去它自己得 0。

$$-30x^{2}+18x-3000-150=0$$

将 -3000 减去 150。

$$-30x^{2}+18x-3150=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -30 替换 a，18 替换 b，并用 -3150 替换 c。

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-30\right)\left(-3150\right)}}{2\left(-30\right)}$$

对 18 进行平方运算。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-30\right)\left(-3150\right)}}{2\left(-30\right)}$$

求 -4 与 -30 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+120\left(-3150\right)}}{2\left(-30\right)}$$

求 120 与 -3150 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-378000}}{2\left(-30\right)}$$

将 -378000 加上 324。

$$x=\frac{-18±\sqrt{-377676}}{2\left(-30\right)}$$

取 -377676 的平方根。

$$x=\frac{-18±6\sqrt{10491}i}{2\left(-30\right)}$$

求 2 与 -30 的乘积。

$$x=\frac{-18±6\sqrt{10491}i}{-60}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-18±6\sqrt{10491}i}{-60} 的解。 将 6i\sqrt{10491} 加上 -18。

$$x=\frac{-18+6\sqrt{10491}i}{-60}$$

-18+6i\sqrt{10491} 除以 -60。

$$x=\frac{-\sqrt{10491}i+3}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-18±6\sqrt{10491}i}{-60} 的解。 将 -18 减去 6i\sqrt{10491}。

$$x=\frac{-6\sqrt{10491}i-18}{-60}$$

-18-6i\sqrt{10491} 除以 -60。

$$x=\frac{3+\sqrt{10491}i}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{10491}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{10491}i}{10}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-30x^{2}+18x-3000=150$$

在等式两边同时加 3000。

$$-30x^{2}+18x-3000-\left(-3000\right)=150-\left(-3000\right)$$

-3000 减去它自己得 0。

$$-30x^{2}+18x=150-\left(-3000\right)$$

将 150 减去 -3000。

$$-30x^{2}+18x=3150$$

两边同时除以 -30。

$$\frac{-30x^{2}+18x}{-30}=\frac{3150}{-30}$$

除以 -30 是乘以 -30 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{18}{-30}x=\frac{3150}{-30}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{18}{-30} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3150}{-30}$$

3150 除以 -30。

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-105$$

将 x 项的系数 -\frac{3}{5} 除以 2 得 -\frac{3}{10}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-105+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-105+\frac{9}{100}$$

将 \frac{9}{100} 加上 -105。

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{10491}{100}$$

因数 x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{10491}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{10491}{100}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{10491}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{10491}i}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{10}。

$$x=\frac{3+\sqrt{10491}i}{10} x=\frac{-\sqrt{10491}i+3}{10}$$