求解 -3x^2+5x-1=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1.434258546$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\approx 0.232408121$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -3 替换 a，5 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

求 -4 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

求 12 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

将 -12 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

求 2 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} 的解。 将 \sqrt{13} 加上 -5。

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

-5+\sqrt{13} 除以 -6。

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} 的解。 将 -5 减去 \sqrt{13}。

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

-5-\sqrt{13} 除以 -6。

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$-3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$-3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$-3x^{2}+5x=1$$

两边同时除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

除以 -3 是乘以 -3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

5 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{1}{-3}$$

1 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{3} 除以 2 得 -\frac{5}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

将 \frac{25}{36} 加上 -\frac{1}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{13}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$