求解 -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11.764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0.764982043$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 -3 乘以 2x-1。

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

请考虑 \left(x+1\right)\left(x-1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

将 3 减去 1，得到 2。

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

使用分配律将 -5 乘以 x+2。

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

合并 -6x 和 -5x，得到 -11x。

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

将 2 减去 10，得到 -8。

$$-11x-8+x^{2}=1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

将 -8 减去 1，得到 -9。

$$-11x-9+x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-11x-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-11 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

对 -11 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

求 -4 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

将 36 加上 121。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

-11 的相反数是 11。

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} 的解。 将 \sqrt{157} 加上 11。

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} 的解。 将 11 减去 \sqrt{157}。

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 -3 乘以 2x-1。

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

请考虑 \left(x+1\right)\left(x-1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

将 3 减去 1，得到 2。

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

使用分配律将 -5 乘以 x+2。

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

合并 -6x 和 -5x，得到 -11x。

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

将 2 减去 10，得到 -8。

$$-11x-8+x^{2}=1$$

将 8 添加到两侧。

$$-11x+x^{2}=1+8$$

1 与 8 相加，得到 9。

$$-11x+x^{2}=9$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-11x=9$$

将 x 项的系数 -11 除以 2 得 -\frac{11}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

将 \frac{121}{4} 加上 9。

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

因数 x^{2}-11x+\frac{121}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$