求解 -231x^2-42x+67=0

$$- 231 x ^ { 2 } - 42 x + 67 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx 0.455266479$$

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx -0.637084661$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -231 替换 a，-42 替换 b，并用 67 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

对 -42 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

求 -4 与 -231 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+924\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

求 924 与 67 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+61908}}{2\left(-231\right)}$$

将 61908 加上 1764。

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{63672}}{2\left(-231\right)}$$

取 63672 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-42\right)±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

-42 的相反数是 42。

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

求 2 与 -231 的乘积。

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} 的解。 将 2\sqrt{15918} 加上 42。

$$x=\frac{2\sqrt{15918}+42}{-462}$$

42+2\sqrt{15918} 除以 -462。

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462} 的解。 将 42 减去 2\sqrt{15918}。

$$x=\frac{42-2\sqrt{15918}}{-462}$$

42-2\sqrt{15918} 除以 -462。

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

将等式的两边同时减去 67。

$$-231x^{2}-42x+67-67=-67$$

67 减去它自己得 0。

$$-231x^{2}-42x=-67$$

两边同时除以 -231。

$$\frac{-231x^{2}-42x}{-231}=-\frac{67}{-231}$$

除以 -231 是乘以 -231 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{-231}\right)x=-\frac{67}{-231}$$

通过求根和消去 21，将分数 \frac{-42}{-231} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=-\frac{67}{-231}$$

-67 除以 -231。

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=\frac{67}{231}$$

将 x 项的系数 \frac{2}{11} 除以 2 得 \frac{1}{11}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{11} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{67}{231}+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{11} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{67}{231}+\frac{1}{121}$$

将 \frac{1}{121} 加上 \frac{67}{231}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{758}{2541}$$

因数 x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{758}{2541}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{758}{2541}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{11}=\frac{\sqrt{15918}}{231} x+\frac{1}{11}=-\frac{\sqrt{15918}}{231}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{11}。

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$