求解 -2x^2-15x-12=0

$$- 2 x ^ { 2 } - 15 x - 12 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{129}-15}{4}\approx -0.910545827$$

$$x=\frac{-\sqrt{129}-15}{4}\approx -6.589454173$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-2x^{2}-15x-12=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -2 替换 a，-15 替换 b，并用 -12 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

对 -15 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

求 -4 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

求 8 与 -12 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-96}}{2\left(-2\right)}$$

将 -96 加上 225。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{129}}{2\left(-2\right)}$$

-15 的相反数是 15。

$$x=\frac{15±\sqrt{129}}{2\left(-2\right)}$$

求 2 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{15±\sqrt{129}}{-4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{15±\sqrt{129}}{-4} 的解。 将 \sqrt{129} 加上 15。

$$x=\frac{\sqrt{129}+15}{-4}$$

15+\sqrt{129} 除以 -4。

$$x=\frac{-\sqrt{129}-15}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{15±\sqrt{129}}{-4} 的解。 将 15 减去 \sqrt{129}。

$$x=\frac{15-\sqrt{129}}{-4}$$

15-\sqrt{129} 除以 -4。

$$x=\frac{\sqrt{129}-15}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{129}-15}{4} x=\frac{\sqrt{129}-15}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-2x^{2}-15x-12=0$$

在等式两边同时加 12。

$$-2x^{2}-15x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12 减去它自己得 0。

$$-2x^{2}-15x=-\left(-12\right)$$

将 0 减去 -12。

$$-2x^{2}-15x=12$$

两边同时除以 -2。

$$\frac{-2x^{2}-15x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

除以 -2 是乘以 -2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-2}\right)x=\frac{12}{-2}$$

-15 除以 -2。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=\frac{12}{-2}$$

12 除以 -2。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=-6$$

将 x 项的系数 \frac{15}{2} 除以 2 得 \frac{15}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{15}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}=-6+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{15}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-6+\frac{225}{16}$$

将 \frac{225}{16} 加上 -6。

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{129}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{129}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{129}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{129}}{4} x+\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{129}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{15}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{129}-15}{4} x=\frac{-\sqrt{129}-15}{4}$$