求解 -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

求解 x 的值

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

运用二次公式的步骤

将不等式乘以 -1，以使 -2x^{2}+12x-14 中最高次幂的系数为正数。 由于 -1 为 <0，因此不等式的方向改变。

$$2x^{2}-12x+14<0$$

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$2x^{2}-12x+14=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 2、用 -12 替换 b、用 14 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

完成计算。

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} 的解。

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

若要使积为负，x-\left(\sqrt{2}+3\right) 和 x-\left(3-\sqrt{2}\right) 的正负号必须相反。 考虑 x-\left(\sqrt{2}+3\right) 为正，且 x-\left(3-\sqrt{2}\right) 为负的情况。

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x-\left(3-\sqrt{2}\right) 为正，且 x-\left(\sqrt{2}+3\right) 为负的情况。

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)。

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$