求解 -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

因式分解

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

求解步骤

因式分解出 4。

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

请考虑 -4t^{2}+24t-27。 通过分组对表达式进行因式分解。首先，表达式需要重写成 -4t^{2}+at+bt-27。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数，a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 108 的所有此类整数对。

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

计算每对之和。

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

该解答是总和为 24 的对。

$$a=18 b=6$$

将 -4t^{2}+24t-27 改写为 \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)。

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

将 -2t 放在第二个组中的第一个和 3 中。

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2t-9。

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

重写完整的因式分解表达式。

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

运用二次公式的步骤

可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

对 96 进行平方运算。

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

求 -4 与 -16 的乘积。

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

求 64 与 -108 的乘积。

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

将 -6912 加上 9216。

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

取 2304 的平方根。

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

求 2 与 -16 的乘积。

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{-96±48}{-32} 的解。 将 48 加上 -96。

$$t=-\frac{48}{-32}$$

通过求根和消去 16，将分数 \frac{-48}{-32} 降低为最简分数。

$$t=\frac{3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{-96±48}{-32} 的解。 将 -96 减去 48。

$$t=-\frac{144}{-32}$$

通过求根和消去 16，将分数 \frac{-144}{-32} 降低为最简分数。

$$t=\frac{9}{2}$$

使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对原始表达式进行因式分解。将 x_{1} 替换为 \frac{3}{2}，将 x_{2} 替换为 \frac{9}{2}。

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

将 t 减去 \frac{3}{2}，运算方法是找到公分母，然后分子相减。如果可能，将所得分数化简为最简分数。

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

将 t 减去 \frac{9}{2}，运算方法是找到公分母，然后分子相减。如果可能，将所得分数化简为最简分数。

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

\frac{-2t+3}{-2} 乘以 \frac{-2t+9}{-2} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

求 -2 与 -2 的乘积。

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

抵消 -16 和 4 的最大公约数 4。

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

求值

$$-16t^{2}+96t-108$$