求解 -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

求解 x 的值

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 -\frac{1}{3} 乘以 x+2。

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

使用分配律将 -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} 乘以 x-\frac{1}{3}，并组合同类项。

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

将不等式乘以 -1，以使 -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} 中最高次幂的系数为正数。 由于 -1 为负，因此不等式的方向改变。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 \frac{1}{3}、用 \frac{5}{9} 替换 b、用 -\frac{2}{9} 替换 c。

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

完成计算。

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} 的解。

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

使用获取的解改写不等式。

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

若要使积为负，x-\frac{1}{3} 和 x+2 的正负号必须相反。 考虑 x-\frac{1}{3} 为正，且 x+2 为负的情况。

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x+2 为正，且 x-\frac{1}{3} 为负的情况。

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)。

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$