求解 -frac{(sqrt{2}-1)^2}{4sqrt{2}}+frac{(sqrt{5}+sqrt{3})^2}{sqrt{15}}+frac{(sqrt{2}+1)^2}{4sqrt{2}}-frac{(sqrt{5}-sqrt{3})^2}{sqrt{15}}

$$- \frac { ( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 2 } } + \frac { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } { \sqrt { 15 } } + \frac { ( \sqrt { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 2 } } - \frac { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } { \sqrt { 15 } }$$

求值

$$5$$

简短求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{2}-1\right)^{2}。

$$-\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{2-2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$-\frac{3-2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}，使 \frac{3-2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} 的分母有理化

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\times 2}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

将 4 与 2 相乘，得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

若要将 \sqrt{5} 和 \sqrt{3} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{5+2\sqrt{15}+3}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

5 与 3 相加，得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{8+2\sqrt{15}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{15}，使 \frac{8+2\sqrt{15}}{\sqrt{15}} 的分母有理化

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{\left(\sqrt{15}\right)^{2}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{15} 的平方是 15。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{2+2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{3+2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}，使 \frac{3+2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} 的分母有理化

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\times 2}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

将 4 与 2 相乘，得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

若要将 \sqrt{5} 和 \sqrt{3} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{5-2\sqrt{15}+3}{\sqrt{15}}$$

5 与 3 相加，得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{8-2\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{15}，使 \frac{8-2\sqrt{15}}{\sqrt{15}} 的分母有理化

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{\left(\sqrt{15}\right)^{2}}$$

\sqrt{15} 的平方是 15。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 8 和 15 的最小公倍数是 120。 求 -\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8} 与 \frac{15}{15} 的乘积。 求 \frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15} 与 \frac{8}{8} 的乘积。

$$-\frac{15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120}+\frac{8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

由于 -\frac{15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120} 和 \frac{8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{-15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}+8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

完成 -15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}+8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15} 中的乘法运算。

$$\frac{-45\sqrt{2}+60+64\sqrt{15}+240}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

完成 -45\sqrt{2}+60+64\sqrt{15}+240 中的计算。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 120 和 8 的最小公倍数是 120。 求 \frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8} 与 \frac{15}{15} 的乘积。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}}{120}+\frac{15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

由于 \frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}}{120} 和 \frac{15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

完成 -45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2} 中的乘法运算。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+45\sqrt{2}+60}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

完成 -45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+45\sqrt{2}+60 中的计算。

$$\frac{360+64\sqrt{15}}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 120 和 15 的最小公倍数是 120。 求 \frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15} 与 \frac{8}{8} 的乘积。

$$\frac{360+64\sqrt{15}}{120}-\frac{8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}$$

由于 \frac{360+64\sqrt{15}}{120} 和 \frac{8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{360+64\sqrt{15}-8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}$$

完成 360+64\sqrt{15}-8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15} 中的乘法运算。

$$\frac{360+64\sqrt{15}-64\sqrt{15}+240}{120}$$

完成 360+64\sqrt{15}-64\sqrt{15}+240 中的计算。

$$\frac{600}{120}$$

600 除以 120 得 5。

$$5$$

因式分解

$$5$$