求解 (76-4x)(10+2x)=1080

$$(76-4x)(10+2x)=1080$$

求解 x 的值

$$x=4$$

$$x=10$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 76-4x 乘以 10+2x，并组合同类项。

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

将方程式两边同时减去 1080。

$$760+112x-8x^{2}-1080=0$$

将 760 减去 1080，得到 -320。

$$-320+112x-8x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-8x^{2}+112x-320=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -8 替换 a，112 替换 b，并用 -320 替换 c。

$$x=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

对 112 进行平方运算。

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

求 -4 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544+32\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

求 32 与 -320 的乘积。

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-10240}}{2\left(-8\right)}$$

将 -10240 加上 12544。

$$x=\frac{-112±\sqrt{2304}}{2\left(-8\right)}$$

取 2304 的平方根。

$$x=\frac{-112±48}{2\left(-8\right)}$$

求 2 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{-112±48}{-16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-112±48}{-16} 的解。 将 48 加上 -112。

$$x=-\frac{64}{-16}$$

-64 除以 -16。

$$x=4$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-112±48}{-16} 的解。 将 -112 减去 48。

$$x=-\frac{160}{-16}$$

-160 除以 -16。

$$x=10$$

现已求得方程式的解。

$$x=4 x=10$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 76-4x 乘以 10+2x，并组合同类项。

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

将方程式两边同时减去 760。

$$112x-8x^{2}=1080-760$$

将 1080 减去 760，得到 320。

$$112x-8x^{2}=320$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-8x^{2}+112x=320$$

两边同时除以 -8。

$$\frac{-8x^{2}+112x}{-8}=\frac{320}{-8}$$

除以 -8 是乘以 -8 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{112}{-8}x=\frac{320}{-8}$$

112 除以 -8。

$$x^{2}-14x=\frac{320}{-8}$$

320 除以 -8。

$$x^{2}-14x=-40$$

将 x 项的系数 -14 除以 2 得 -7。然后在等式两边同时加上 -7 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

对 -7 进行平方运算。

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

将 49 加上 -40。

$$x^{2}-14x+49=9$$

因数 x^{2}-14x+49。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

化简。

$$x-7=3 x-7=-3$$

在等式两边同时加 7。

$$x=10 x=4$$