求解 (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

求解 y 的值

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4.192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1.192582404$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-y^{2}+3y+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，3 替换 b，并用 5 替换 c。

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

对 3 进行平方运算。

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 5 的乘积。

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

将 20 加上 9。

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} 的解。 将 \sqrt{29} 加上 -3。

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

-3+\sqrt{29} 除以 -2。

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} 的解。 将 -3 减去 \sqrt{29}。

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

-3-\sqrt{29} 除以 -2。

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-y^{2}+3y+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$-y^{2}+3y=-5$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

3 除以 -1。

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

-5 除以 -1。

$$y^{2}-3y=5$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 5。

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

对 y^{2}-3y+\frac{9}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

化简。

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$