求解 (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

求解 d 的值

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right.$$

求解线性方程的步骤

将公式两边同时乘以 12 的最小公倍数 3,2,4。

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 3 和 2 的最小公倍数是 6。 求 \frac{y^{3}}{3} 与 \frac{2}{2} 的乘积。 求 \frac{x^{2}}{2} 与 \frac{3}{3} 的乘积。

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

由于 \frac{2y^{3}}{6} 和 \frac{3x^{2}}{6} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

使用分配律将 12 乘以 y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}。

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

抵消 12 和 6 的最大公约数 6。

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

使用分配律将 2 乘以 2y^{3}+3x^{2}。

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

使用分配律将 12y+4y^{3}+6x^{2} 乘以 d。

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

使用分配律将 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d 乘以 x。

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

使用分配律将 3 乘以 x+xy^{2}。

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

使用分配律将 3x+3xy^{2} 乘以 d。

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

使用分配律将 3xd+3xy^{2}d 乘以 y。

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

合并 12ydx 和 3xdy，得到 15ydx。

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

合并 4y^{3}dx 和 3xdy^{3}，得到 7y^{3}dx。

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

合并所有含 d 的项。

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

该公式采用标准形式。

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

0 除以 15yx+7y^{3}x+6x^{3}。

$$d=0$$

求解 x 的值

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$