求解 (x-4)^2*(x+3)^3*(x-1)=0

$$( x - 4 ) ^ { 2 } \cdot ( x + 3 ) ^ { 3 } \cdot ( x - 1 ) = 0$$

求解 x 的值

$$x=-3$$

$$x=4$$

$$x=1$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-4\right)^{2}。

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x+3\right)^{3}\left(x-1\right)=0$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} 展开 \left(x+3\right)^{3}。

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x^{3}+9x^{2}+27x+27\right)\left(x-1\right)=0$$

使用分配律将 x^{2}-8x+16 乘以 x^{3}+9x^{2}+27x+27，并组合同类项。

$$\left(x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432\right)\left(x-1\right)=0$$

使用分配律将 x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 乘以 x-1，并组合同类项。

$$x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -432，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432 除以 x-1 得 x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 432，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-3$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 除以 x+3 得 x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 144，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-3$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144 除以 x+3 得 x^{3}-5x^{2}-8x+48。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}-5x^{2}-8x+48=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 48，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±48,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-3$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}-5x^{2}-8x+48 除以 x+3 得 x^{2}-8x+16。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}-8x+16=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -8 替换 b、用 16 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{8±0}{2}$$

解是相同的。

$$x=4$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=1 x=-3 x=4$$