求解 (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

求解 x 的值

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

求解步骤

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -6 替换 b、用 7 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} 的解。

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

若要使积为负，x-\left(\sqrt{2}+3\right) 和 x-\left(3-\sqrt{2}\right) 的正负号必须相反。 考虑 x-\left(\sqrt{2}+3\right) 为正，且 x-\left(3-\sqrt{2}\right) 为负的情况。

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x-\left(3-\sqrt{2}\right) 为正，且 x-\left(\sqrt{2}+3\right) 为负的情况。

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)。

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$