求解 (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0.5+2.061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0.5-2.061552813i$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-3\right)^{2}。

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+4\right)^{2}。

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

合并 x^{2} 和 x^{2}，得到 2x^{2}。

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

合并 -6x 和 8x，得到 2x。

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

9 与 16 相加，得到 25。

$$2x^{2}+2x+25=16$$

将方程式两边同时减去 16。

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

将 25 减去 16，得到 9。

$$2x^{2}+2x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，2 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

对 2 进行平方运算。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

求 -8 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

将 -72 加上 4。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

取 -68 的平方根。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} 的解。 将 2i\sqrt{17} 加上 -2。

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

-2+2i\sqrt{17} 除以 4。

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} 的解。 将 -2 减去 2i\sqrt{17}。

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

-2-2i\sqrt{17} 除以 4。

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-3\right)^{2}。

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+4\right)^{2}。

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

合并 x^{2} 和 x^{2}，得到 2x^{2}。

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

合并 -6x 和 8x，得到 2x。

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

9 与 16 相加，得到 25。

$$2x^{2}+2x+25=16$$

将方程式两边同时减去 25。

$$2x^{2}+2x=16-25$$

将 16 减去 25，得到 -9。

$$2x^{2}+2x=-9$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

2 除以 2。

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -\frac{9}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$