求解 (x-2)^2=1+x

$$( x - 2 ) ^ { 2 } = 1 + x$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{2} \approx 4.302775638$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\approx 0.697224362$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-2\right)^{2}。

$$x^{2}-4x+4=1+x$$

将方程式两边同时减去 1。

$$x^{2}-4x+4-1=x$$

将 4 减去 1，得到 3。

$$x^{2}-4x+3=x$$

将方程式两边同时减去 x。

$$x^{2}-4x+3-x=0$$

合并 -4x 和 -x，得到 -5x。

$$x^{2}-5x+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-5 替换 b，并用 3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3}}{2}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12}}{2}$$

将 -12 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{13}}{2}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±\sqrt{13}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{13}}{2} 的解。 将 \sqrt{13} 加上 5。

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{13}}{2} 的解。 将 5 减去 \sqrt{13}。

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-2\right)^{2}。

$$x^{2}-4x+4=1+x$$

将方程式两边同时减去 x。

$$x^{2}-4x+4-x=1$$

合并 -4x 和 -x，得到 -5x。

$$x^{2}-5x+4=1$$

将方程式两边同时减去 4。

$$x^{2}-5x=1-4$$

将 1 减去 4，得到 -3。

$$x^{2}-5x=-3$$

将 x 项的系数 -5 除以 2 得 -\frac{5}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

将 \frac{25}{4} 加上 -3。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

对 x^{2}-5x+\frac{25}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$