求解 (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

求解 v 的值

$$v=-1$$

$$v=7$$

通过分组进行因式分解的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(v+4\right)^{2}。

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

将方程式两边同时减去 2v^{2}。

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

合并 v^{2} 和 -2v^{2}，得到 -v^{2}。

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

将方程式两边同时减去 2v。

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

合并 8v 和 -2v，得到 6v。

$$-v^{2}+6v+16=9$$

将方程式两边同时减去 9。

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

将 16 减去 9，得到 7。

$$-v^{2}+6v+7=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 -v^{2}+av+bv+7。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 只有此类对是系统解答。

$$a=7 b=-1$$

将 -v^{2}+6v+7 改写为 \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)。

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

将 -v 放在第二个组中的第一个和 -1 中。

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 v-7。

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

若要找到方程解，请解 v-7=0 和 -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(v+4\right)^{2}。

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

将方程式两边同时减去 2v^{2}。

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

合并 v^{2} 和 -2v^{2}，得到 -v^{2}。

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

将方程式两边同时减去 2v。

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

合并 8v 和 -2v，得到 6v。

$$-v^{2}+6v+16=9$$

将方程式两边同时减去 9。

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

将 16 减去 9，得到 7。

$$-v^{2}+6v+7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，6 替换 b，并用 7 替换 c。

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

对 6 进行平方运算。

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 7 的乘积。

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

将 28 加上 36。

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

取 64 的平方根。

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 v=\frac{-6±8}{-2} 的解。 将 8 加上 -6。

$$v=\frac{2}{-2}$$

2 除以 -2。

$$v=-1$$

现在 ± 为减号时求公式 v=\frac{-6±8}{-2} 的解。 将 -6 减去 8。

$$v=-\frac{14}{-2}$$

-14 除以 -2。

$$v=7$$

现已求得方程式的解。

$$v=-1 v=7$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(v+4\right)^{2}。

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

将方程式两边同时减去 2v^{2}。

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

合并 v^{2} 和 -2v^{2}，得到 -v^{2}。

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

将方程式两边同时减去 2v。

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

合并 8v 和 -2v，得到 6v。

$$-v^{2}+6v+16=9$$

将方程式两边同时减去 16。

$$-v^{2}+6v=9-16$$

将 9 减去 16，得到 -7。

$$-v^{2}+6v=-7$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

6 除以 -1。

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

-7 除以 -1。

$$v^{2}-6v=7$$

将 x 项的系数 -6 除以 2 得 -3。然后在等式两边同时加上 -3 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

对 -3 进行平方运算。

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

将 9 加上 7。

$$v^{2}-6v+9=16$$

因数 v^{2}-6v+9。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

化简。

$$v-3=4 v-3=-4$$

在等式两边同时加 3。

$$v=7 v=-1$$