求解 (q-r)^2+(r-p)^2+(x-q)^2=(p-x)^2

$$( q - r ) ^ { 2 } + ( r - p ) ^ { 2 } + ( x - q ) ^ { 2 } = ( p - x ) ^ { 2 }$$

求解 p 的值 (复数求解)

$$\left\{\begin{matrix}p=-\frac{r^{2}+q^{2}-qr-qx}{x-r}\text{, }&r\neq x\\p\in \mathrm{C}\text{, }&r=x\text{ and }q=r\end{matrix}\right.$$

求解线性方程的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(q-r\right)^{2}。

$$q^{2}-2qr+r^{2}+\left(r-p\right)^{2}+\left(x-q\right)^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(r-p\right)^{2}。

$$q^{2}-2qr+r^{2}+r^{2}-2rp+p^{2}+\left(x-q\right)^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

合并 r^{2} 和 r^{2}，得到 2r^{2}。

$$q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+\left(x-q\right)^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-q\right)^{2}。

$$q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq+q^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

合并 q^{2} 和 q^{2}，得到 2q^{2}。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq=\left(p-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(p-x\right)^{2}。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq=p^{2}-2px+x^{2}$$

将方程式两边同时减去 p^{2}。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq-p^{2}=-2px+x^{2}$$

合并 p^{2} 和 -p^{2}，得到 0。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq=-2px+x^{2}$$

将 2px 添加到两侧。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}$$

将方程式两边同时减去 2q^{2}。

$$-2qr+2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}$$

将 2qr 添加到两侧。

$$2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}+2qr$$

将方程式两边同时减去 2r^{2}。

$$-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}+2qr-2r^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$-2rp-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}+2qr-2r^{2}-x^{2}$$

合并 x^{2} 和 -x^{2}，得到 0。

$$-2rp-2xq+2px=-2q^{2}+2qr-2r^{2}$$

将 2xq 添加到两侧。

$$-2rp+2px=-2q^{2}+2qr-2r^{2}+2xq$$

合并所有含 p 的项。

$$\left(-2r+2x\right)p=-2q^{2}+2qr-2r^{2}+2xq$$

该公式采用标准形式。

$$\left(2x-2r\right)p=2qx+2qr-2q^{2}-2r^{2}$$

两边同时除以 2x-2r。

$$\frac{\left(2x-2r\right)p}{2x-2r}=\frac{2qx+2qr-2q^{2}-2r^{2}}{2x-2r}$$

除以 2x-2r 是乘以 2x-2r 的逆运算。

$$p=\frac{2qx+2qr-2q^{2}-2r^{2}}{2x-2r}$$

-2q^{2}+2qr-2r^{2}+2xq 除以 2x-2r。

$$p=\frac{qx+qr-q^{2}-r^{2}}{x-r}$$

求解 p 的值

$$\left\{\begin{matrix}p=-\frac{r^{2}+q^{2}-qr-qx}{x-r}\text{, }&r\neq x\\p\in \mathrm{R}\text{, }&r=x\text{ and }q=r\end{matrix}\right.$$

求解线性方程的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(q-r\right)^{2}。

$$q^{2}-2qr+r^{2}+\left(r-p\right)^{2}+\left(x-q\right)^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(r-p\right)^{2}。

$$q^{2}-2qr+r^{2}+r^{2}-2rp+p^{2}+\left(x-q\right)^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

合并 r^{2} 和 r^{2}，得到 2r^{2}。

$$q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+\left(x-q\right)^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-q\right)^{2}。

$$q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq+q^{2}=\left(p-x\right)^{2}$$

合并 q^{2} 和 q^{2}，得到 2q^{2}。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq=\left(p-x\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(p-x\right)^{2}。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq=p^{2}-2px+x^{2}$$

将方程式两边同时减去 p^{2}。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+p^{2}+x^{2}-2xq-p^{2}=-2px+x^{2}$$

合并 p^{2} 和 -p^{2}，得到 0。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq=-2px+x^{2}$$

将 2px 添加到两侧。

$$2q^{2}-2qr+2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}$$

将方程式两边同时减去 2q^{2}。

$$-2qr+2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}$$

将 2qr 添加到两侧。

$$2r^{2}-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}+2qr$$

将方程式两边同时减去 2r^{2}。

$$-2rp+x^{2}-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}+2qr-2r^{2}$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$-2rp-2xq+2px=x^{2}-2q^{2}+2qr-2r^{2}-x^{2}$$

合并 x^{2} 和 -x^{2}，得到 0。

$$-2rp-2xq+2px=-2q^{2}+2qr-2r^{2}$$

将 2xq 添加到两侧。

$$-2rp+2px=-2q^{2}+2qr-2r^{2}+2xq$$

合并所有含 p 的项。

$$\left(-2r+2x\right)p=-2q^{2}+2qr-2r^{2}+2xq$$

该公式采用标准形式。

$$\left(2x-2r\right)p=2qx+2qr-2q^{2}-2r^{2}$$

两边同时除以 2x-2r。

$$\frac{\left(2x-2r\right)p}{2x-2r}=\frac{2qx+2qr-2q^{2}-2r^{2}}{2x-2r}$$

除以 2x-2r 是乘以 2x-2r 的逆运算。

$$p=\frac{2qx+2qr-2q^{2}-2r^{2}}{2x-2r}$$

-2q^{2}+2qr-2r^{2}+2xq 除以 2x-2r。

$$p=\frac{qx+qr-q^{2}-r^{2}}{x-r}$$

求解 q 的值 (复数求解)

$$q=\frac{\sqrt{\left(x-r\right)\left(x+3r-4p\right)}+r+x}{2}$$

$$q=\frac{-\sqrt{\left(x-r\right)\left(x+3r-4p\right)}+r+x}{2}$$

求解 q 的值

$$q=\frac{\sqrt{\left(x-r\right)\left(x+3r-4p\right)}+r+x}{2}$$

$$q=\frac{-\sqrt{\left(x-r\right)\left(x+3r-4p\right)}+r+x}{2}\text{, }r=x\text{ or }\left(p\neq x\text{ and }r\leq \frac{2\sqrt{x^{2}-2px+p^{2}}+x+2p}{3}\text{ and }r\geq \frac{-2\sqrt{x^{2}-2px+p^{2}}+x+2p}{3}\right)$$