求解 (k+1/4)^2-1/16-1/5=0

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

求解 k 的值

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0.262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0.762347538$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

将 \frac{1}{16} 减去 \frac{1}{16}，得到 0。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，\frac{1}{2} 替换 b，并用 -\frac{1}{5} 替换 c。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

求 -4 与 -\frac{1}{5} 的乘积。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

将 \frac{4}{5} 加上 \frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

取 \frac{21}{20} 的平方根。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2} 的解。 将 \frac{\sqrt{105}}{10} 加上 -\frac{1}{2}。

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10} 除以 2。

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2} 的解。 将 -\frac{1}{2} 减去 \frac{\sqrt{105}}{10}。

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10} 除以 2。

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

将 \frac{1}{16} 减去 \frac{1}{16}，得到 0。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

将 \frac{1}{5} 添加到两侧。 任何数与零相加其值不变。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{2} 除以 2 得 \frac{1}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

将 \frac{1}{16} 加上 \frac{1}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

因数 k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

化简。

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{4}。

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$