求解 (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

求解 x 的值

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(9-5x\right)^{2}。

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(9-5x\right)^{2}。

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

使用分配律将 2 乘以 81-90x+25x^{2}。

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

81 与 162 相加，得到 243。

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

合并 -90x 和 -180x，得到 -270x。

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

合并 25x^{2} 和 50x^{2}，得到 75x^{2}。

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

将 243 减去 24，得到 219。

$$219-270x+75x^{2}<0$$

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$219-270x+75x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 75、用 -270 替换 b、用 219 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

完成计算。

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} 的解。

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

使用获取的解改写不等式。

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

若要使积为负，x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} 和 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} 的正负号必须相反。 考虑 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} 为正，且 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} 为负的情况。

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} 为正，且 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} 为负的情况。

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)。

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$