求解 (6-2sqrt{x})^2+6^2=8x

$$( 6 - 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 8 x$$

求解 x 的值

$$x=36-18\sqrt{3}\approx 4.823085464$$

求解步骤

计算 2 的 6 乘方，得到 36。

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36=8x$$

将方程式两边同时减去 8x。

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}。

$$36-24\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

计算 2 的 \sqrt{x} 乘方，得到 x。

$$36-24\sqrt{x}+4x+36-8x=0$$

36 与 36 相加，得到 72。

$$72-24\sqrt{x}+4x-8x=0$$

合并 4x 和 -8x，得到 -4x。

$$72-24\sqrt{x}-4x=0$$

将方程式两边同时减去 72。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$-24\sqrt{x}-4x=-72$$

将等式的两边同时减去 -4x。

$$-24\sqrt{x}=-72+4x$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(-24\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

展开 \left(-24\sqrt{x}\right)^{2}。

$$\left(-24\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

计算 2 的 -24 乘方，得到 576。

$$576\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x} 乘方，得到 x。

$$576x=\left(4x-72\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4x-72\right)^{2}。

$$576x=16x^{2}-576x+5184$$

将方程式两边同时减去 16x^{2}。

$$576x-16x^{2}=-576x+5184$$

将 576x 添加到两侧。

$$576x-16x^{2}+576x=5184$$

合并 576x 和 576x，得到 1152x。

$$1152x-16x^{2}=5184$$

将方程式两边同时减去 5184。

$$1152x-16x^{2}-5184=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-16x^{2}+1152x-5184=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -16 替换 a，1152 替换 b，并用 -5184 替换 c。

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1152^{2}-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

对 1152 进行平方运算。

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

求 -4 与 -16 的乘积。

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104+64\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

求 64 与 -5184 的乘积。

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-331776}}{2\left(-16\right)}$$

将 -331776 加上 1327104。

$$x=\frac{-1152±\sqrt{995328}}{2\left(-16\right)}$$

取 995328 的平方根。

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{2\left(-16\right)}$$

求 2 与 -16 的乘积。

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} 的解。 将 576\sqrt{3} 加上 -1152。

$$x=\frac{576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

-1152+576\sqrt{3} 除以 -32。

$$x=36-18\sqrt{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} 的解。 将 -1152 减去 576\sqrt{3}。

$$x=\frac{-576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

-1152-576\sqrt{3} 除以 -32。

$$x=18\sqrt{3}+36$$

现已求得方程式的解。

$$x=36-18\sqrt{3} x=18\sqrt{3}+36$$

用 36-18\sqrt{3} 替代方程 \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x 中的 x。

$$\left(6-2\sqrt{36-18\sqrt{3}}\right)^{2}+6^{2}=8\left(36-18\sqrt{3}\right)$$

化简。 值 x=36-18\sqrt{3} 满足公式。

$$288-144\times 3^{\frac{1}{2}}=288-144\times 3^{\frac{1}{2}}$$

用 18\sqrt{3}+36 替代方程 \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x 中的 x。

$$\left(6-2\sqrt{18\sqrt{3}+36}\right)^{2}+6^{2}=8\left(18\sqrt{3}+36\right)$$

化简。 x=18\sqrt{3}+36 的值不满足公式。

$$144=144\times 3^{\frac{1}{2}}+288$$

公式 -24\sqrt{x}=4x-72 具有唯一解。

$$x=36-18\sqrt{3}$$