求解 (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

求解 x 的值

$$x=-1$$

$$x=2$$

通过分组进行因式分解的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(5x-2\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

请考虑 \left(2x-1\right)\left(2x+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

展开 \left(2x\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

要查找 4x^{2}-1 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

合并 25x^{2} 和 -4x^{2}，得到 21x^{2}。

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

4 与 1 相加，得到 5。

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

将方程式两边同时减去 47。

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

将 5 减去 47，得到 -42。

$$21x^{2}-20x-42=x$$

将方程式两边同时减去 x。

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

合并 -20x 和 -x，得到 -21x。

$$21x^{2}-21x-42=0$$

两边同时除以 21。

$$x^{2}-x-2=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 x^{2}+ax+bx-2。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 只有此类对是系统解答。

$$a=-2 b=1$$

将 x^{2}-x-2 改写为 \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)。

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

从 x^{2}-2x 分解出因子 x。

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

若要找到方程解，请解 x-2=0 和 x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(5x-2\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

请考虑 \left(2x-1\right)\left(2x+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

展开 \left(2x\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

要查找 4x^{2}-1 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

合并 25x^{2} 和 -4x^{2}，得到 21x^{2}。

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

4 与 1 相加，得到 5。

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

将方程式两边同时减去 47。

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

将 5 减去 47，得到 -42。

$$21x^{2}-20x-42=x$$

将方程式两边同时减去 x。

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

合并 -20x 和 -x，得到 -21x。

$$21x^{2}-21x-42=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 21 替换 a，-21 替换 b，并用 -42 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

对 -21 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

求 -4 与 21 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

求 -84 与 -42 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

将 3528 加上 441。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

取 3969 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21 的相反数是 21。

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

求 2 与 21 的乘积。

$$x=\frac{21±63}{42}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{21±63}{42} 的解。 将 63 加上 21。

$$x=\frac{84}{42}$$

84 除以 42。

$$x=2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{21±63}{42} 的解。 将 21 减去 63。

$$x=-\frac{42}{42}$$

-42 除以 42。

$$x=-1$$

现已求得方程式的解。

$$x=2 x=-1$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(5x-2\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

请考虑 \left(2x-1\right)\left(2x+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

展开 \left(2x\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

要查找 4x^{2}-1 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

合并 25x^{2} 和 -4x^{2}，得到 21x^{2}。

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

4 与 1 相加，得到 5。

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

将方程式两边同时减去 x。

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

合并 -20x 和 -x，得到 -21x。

$$21x^{2}-21x+5=47$$

将方程式两边同时减去 5。

$$21x^{2}-21x=47-5$$

将 47 减去 5，得到 42。

$$21x^{2}-21x=42$$

两边同时除以 21。

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

除以 21 是乘以 21 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

-21 除以 21。

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

42 除以 21。

$$x^{2}-x=2$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 2。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=2 x=-1$$