求解 (5+a)^2+a=8+a

$$( 5 + a ) ^ { 2 } + a = 8 + a$$

求解 a 的值

$$a=2\sqrt{2}-5\approx -2.171572875$$

$$a=-2\sqrt{2}-5\approx -7.828427125$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(5+a\right)^{2}。

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

合并 10a 和 a，得到 11a。

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

将方程式两边同时减去 8。

$$25+11a+a^{2}-8=a$$

将 25 减去 8，得到 17。

$$17+11a+a^{2}=a$$

将方程式两边同时减去 a。

$$17+11a+a^{2}-a=0$$

合并 11a 和 -a，得到 10a。

$$17+10a+a^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$a^{2}+10a+17=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，10 替换 b，并用 17 替换 c。

$$a=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 17}}{2}$$

对 10 进行平方运算。

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 17}}{2}$$

求 -4 与 17 的乘积。

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-68}}{2}$$

将 -68 加上 100。

$$a=\frac{-10±\sqrt{32}}{2}$$

取 32 的平方根。

$$a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2} 的解。 将 4\sqrt{2} 加上 -10。

$$a=\frac{4\sqrt{2}-10}{2}$$

-10+4\sqrt{2} 除以 2。

$$a=2\sqrt{2}-5$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2} 的解。 将 -10 减去 4\sqrt{2}。

$$a=\frac{-4\sqrt{2}-10}{2}$$

-10-4\sqrt{2} 除以 2。

$$a=-2\sqrt{2}-5$$

现已求得方程式的解。

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(5+a\right)^{2}。

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

合并 10a 和 a，得到 11a。

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

将方程式两边同时减去 a。

$$25+11a+a^{2}-a=8$$

合并 11a 和 -a，得到 10a。

$$25+10a+a^{2}=8$$

将方程式两边同时减去 25。

$$10a+a^{2}=8-25$$

将 8 减去 25，得到 -17。

$$10a+a^{2}=-17$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$a^{2}+10a=-17$$

将 x 项的系数 10 除以 2 得 5。然后在等式两边同时加上 5 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$a^{2}+10a+5^{2}=-17+5^{2}$$

对 5 进行平方运算。

$$a^{2}+10a+25=-17+25$$

将 25 加上 -17。

$$a^{2}+10a+25=8$$

因数 a^{2}+10a+25。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a+5\right)^{2}=8$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(a+5\right)^{2}}=\sqrt{8}$$

化简。

$$a+5=2\sqrt{2} a+5=-2\sqrt{2}$$

将等式的两边同时减去 5。

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$