求解 (4x-3)-5=(2x+5)(6x-7)

$$( 4 x - 3 ) - 5 = ( 2 x + 5 ) ( 6 x - 7 )$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{10} - 1}{2} \approx 1.08113883$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{2}\approx -2.08113883$$

运用二次公式的步骤

将 -3 减去 5，得到 -8。

$$4x-8=\left(2x+5\right)\left(6x-7\right)$$

使用分配律将 2x+5 乘以 6x-7，并组合同类项。

$$4x-8=12x^{2}+16x-35$$

将方程式两边同时减去 12x^{2}。

$$4x-8-12x^{2}=16x-35$$

将方程式两边同时减去 16x。

$$4x-8-12x^{2}-16x=-35$$

合并 4x 和 -16x，得到 -12x。

$$-12x-8-12x^{2}=-35$$

将 35 添加到两侧。

$$-12x-8-12x^{2}+35=0$$

-8 与 35 相加，得到 27。

$$-12x+27-12x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-12x^{2}-12x+27=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -12 替换 a，-12 替换 b，并用 27 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-12\right)\times 27}}{2\left(-12\right)}$$

对 -12 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-12\right)\times 27}}{2\left(-12\right)}$$

求 -4 与 -12 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+48\times 27}}{2\left(-12\right)}$$

求 48 与 27 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+1296}}{2\left(-12\right)}$$

将 1296 加上 144。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{1440}}{2\left(-12\right)}$$

取 1440 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{10}}{2\left(-12\right)}$$

-12 的相反数是 12。

$$x=\frac{12±12\sqrt{10}}{2\left(-12\right)}$$

求 2 与 -12 的乘积。

$$x=\frac{12±12\sqrt{10}}{-24}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{12±12\sqrt{10}}{-24} 的解。 将 12\sqrt{10} 加上 12。

$$x=\frac{12\sqrt{10}+12}{-24}$$

12+12\sqrt{10} 除以 -24。

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{12±12\sqrt{10}}{-24} 的解。 将 12 减去 12\sqrt{10}。

$$x=\frac{12-12\sqrt{10}}{-24}$$

12-12\sqrt{10} 除以 -24。

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{2} x=\frac{\sqrt{10}-1}{2}$$

使用配方法的步骤

将 -3 减去 5，得到 -8。

$$4x-8=\left(2x+5\right)\left(6x-7\right)$$

使用分配律将 2x+5 乘以 6x-7，并组合同类项。

$$4x-8=12x^{2}+16x-35$$

将方程式两边同时减去 12x^{2}。

$$4x-8-12x^{2}=16x-35$$

将方程式两边同时减去 16x。

$$4x-8-12x^{2}-16x=-35$$

合并 4x 和 -16x，得到 -12x。

$$-12x-8-12x^{2}=-35$$

将 8 添加到两侧。

$$-12x-12x^{2}=-35+8$$

-35 与 8 相加，得到 -27。

$$-12x-12x^{2}=-27$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-12x^{2}-12x=-27$$

两边同时除以 -12。

$$\frac{-12x^{2}-12x}{-12}=-\frac{27}{-12}$$

除以 -12 是乘以 -12 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{-12}\right)x=-\frac{27}{-12}$$

-12 除以 -12。

$$x^{2}+x=-\frac{27}{-12}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-27}{-12} 降低为最简分数。

$$x^{2}+x=\frac{9}{4}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9+1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{9}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{2}$$