求解 (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0.266666667+0.249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0.266666667-0.249443826i$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4x-1\right)^{2}。

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

请考虑 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

合并 16x^{2} 和 -x^{2}，得到 15x^{2}。

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

将 1 添加到两侧。

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

1 与 1 相加，得到 2。

$$15x^{2}-8x+2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 15 替换 a，-8 替换 b，并用 2 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

对 -8 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

求 -4 与 15 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

求 -60 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

将 -120 加上 64。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

取 -56 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

-8 的相反数是 8。

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

求 2 与 15 的乘积。

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} 的解。 将 2i\sqrt{14} 加上 8。

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

8+2i\sqrt{14} 除以 30。

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} 的解。 将 8 减去 2i\sqrt{14}。

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

8-2i\sqrt{14} 除以 30。

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4x-1\right)^{2}。

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

请考虑 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

合并 16x^{2} 和 -x^{2}，得到 15x^{2}。

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

将 -1 减去 1，得到 -2。

$$15x^{2}-8x=-2$$

两边同时除以 15。

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

除以 15 是乘以 15 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

将 x 项的系数 -\frac{8}{15} 除以 2 得 -\frac{4}{15}。然后在等式两边同时加上 -\frac{4}{15} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

对 -\frac{4}{15} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

将 \frac{16}{225} 加上 -\frac{2}{15}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

对 x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

化简。

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

在等式两边同时加 \frac{4}{15}。

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$