求解 (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

求解 x 的值

$$x=-18$$

$$x=6$$

通过分组进行因式分解的步骤

将方程式的两边同时乘以 4。

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}。

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

将 16 与 3 相乘，得到 48。

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

抵消 8 和 2 的最大公约数 2。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

若要对 \frac{x\sqrt{3}}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 求 48 与 \frac{2^{2}}{2^{2}} 的乘积。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

由于 \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 和 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

使用分配律将 4 乘以 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}。

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

将 48 与 4 相乘，得到 192。

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

展开 \left(x\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

将 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} 化为简分数。

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

消去 4 和 4。

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

将 16 与 3 相乘，得到 48。

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

合并 x^{2}\times 3 和 x^{2}，得到 4x^{2}。

$$192+4x^{2}+48x=624$$

将方程式两边同时减去 624。

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

将 192 减去 624，得到 -432。

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

两边同时除以 4。

$$-108+x^{2}+12x=0$$

重新排列多项式，将其变为标准形式。按从最高次幂到最低次幂的顺序放置项。

$$x^{2}+12x-108=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 x^{2}+ax+bx-108。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -108 的所有此类整数对。

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

计算每对之和。

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

该解答是总和为 12 的对。

$$a=-6 b=18$$

将 x^{2}+12x-108 改写为 \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)。

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 18 中。

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

若要找到方程解，请解 x-6=0 和 x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

运用二次公式的步骤

将方程式的两边同时乘以 4。

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}。

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

将 16 与 3 相乘，得到 48。

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

抵消 8 和 2 的最大公约数 2。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

若要对 \frac{x\sqrt{3}}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 求 48 与 \frac{2^{2}}{2^{2}} 的乘积。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

由于 \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 和 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

使用分配律将 4 乘以 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}。

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

将 48 与 4 相乘，得到 192。

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

展开 \left(x\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

将 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} 化为简分数。

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

消去 4 和 4。

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

将 16 与 3 相乘，得到 48。

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

合并 x^{2}\times 3 和 x^{2}，得到 4x^{2}。

$$192+4x^{2}+48x=624$$

将方程式两边同时减去 624。

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

将 192 减去 624，得到 -432。

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}+48x-432=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，48 替换 b，并用 -432 替换 c。

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

对 48 进行平方运算。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -432 的乘积。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

将 6912 加上 2304。

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

取 9216 的平方根。

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-48±96}{8} 的解。 将 96 加上 -48。

$$x=\frac{48}{8}$$

48 除以 8。

$$x=6$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-48±96}{8} 的解。 将 -48 减去 96。

$$x=-\frac{144}{8}$$

-144 除以 8。

$$x=-18$$

现已求得方程式的解。

$$x=6 x=-18$$

使用配方法的步骤

将方程式的两边同时乘以 4。

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}。

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

将 16 与 3 相乘，得到 48。

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

抵消 8 和 2 的最大公约数 2。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

若要对 \frac{x\sqrt{3}}{2} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 求 48 与 \frac{2^{2}}{2^{2}} 的乘积。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

由于 \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 和 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

使用分配律将 4 乘以 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}。

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

将 48 与 4 相乘，得到 192。

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

展开 \left(x\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

将 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} 化为简分数。

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

消去 4 和 4。

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

将 16 与 3 相乘，得到 48。

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

合并 x^{2}\times 3 和 x^{2}，得到 4x^{2}。

$$192+4x^{2}+48x=624$$

将方程式两边同时减去 192。

$$4x^{2}+48x=624-192$$

将 624 减去 192，得到 432。

$$4x^{2}+48x=432$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

48 除以 4。

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

432 除以 4。

$$x^{2}+12x=108$$

将 x 项的系数 12 除以 2 得 6。然后在等式两边同时加上 6 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

对 6 进行平方运算。

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

将 36 加上 108。

$$x^{2}+12x+36=144$$

因数 x^{2}+12x+36。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

化简。

$$x+6=12 x+6=-12$$

将等式的两边同时减去 6。

$$x=6 x=-18$$