求解 (3x^2y+e^y)dx+(x^3+xe^y-2y)dy=0

$$( 3 x ^ { 2 } y + e ^ { y } ) d x + ( x ^ { 3 } + x e ^ { y } - 2 y ) d y = 0$$

求解 d 的值

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&xye^{y}+xe^{y}-2y^{2}+4yx^{3}=0\end{matrix}\right.$$

求解线性方程的步骤

使用分配律将 3x^{2}y+e^{y} 乘以 d。

$$\left(3x^{2}yd+e^{y}d\right)x+\left(x^{3}+xe^{y}-2y\right)dy=0$$

使用分配律将 3x^{2}yd+e^{y}d 乘以 x。

$$3ydx^{3}+e^{y}dx+\left(x^{3}+xe^{y}-2y\right)dy=0$$

使用分配律将 x^{3}+xe^{y}-2y 乘以 d。

$$3ydx^{3}+e^{y}dx+\left(x^{3}d+xe^{y}d-2yd\right)y=0$$

使用分配律将 x^{3}d+xe^{y}d-2yd 乘以 y。

$$3ydx^{3}+e^{y}dx+x^{3}dy+xe^{y}dy-2dy^{2}=0$$

合并 3ydx^{3} 和 x^{3}dy，得到 4ydx^{3}。

$$4ydx^{3}+e^{y}dx+xe^{y}dy-2dy^{2}=0$$

合并所有含 d 的项。

$$\left(4yx^{3}+e^{y}x+xe^{y}y-2y^{2}\right)d=0$$

该公式采用标准形式。

$$\left(xye^{y}+xe^{y}-2y^{2}+4yx^{3}\right)d=0$$

0 除以 4x^{3}y+e^{y}x+xe^{y}y-2y^{2}。

$$d=0$$