求解 (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

因式分解

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

求解步骤

重新排列多项式，将其变为标准形式。按从最高次幂到最低次幂的顺序放置项。

$$-10x^{2}+51x+22$$

通过分组对表达式进行因式分解。首先，表达式需要重写成 -10x^{2}+ax+bx+22。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -220 的所有此类整数对。

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

计算每对之和。

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

该解答是总和为 51 的对。

$$a=55 b=-4$$

将 -10x^{2}+51x+22 改写为 \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)。

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

将 -5x 放在第二个组中的第一个和 -2 中。

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 2x-11。

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

运用二次公式的步骤

可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

对 51 进行平方运算。

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

求 -4 与 -10 的乘积。

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

求 40 与 22 的乘积。

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

将 880 加上 2601。

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

取 3481 的平方根。

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

求 2 与 -10 的乘积。

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-51±59}{-20} 的解。 将 59 加上 -51。

$$x=\frac{8}{-20}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{8}{-20} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{2}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-51±59}{-20} 的解。 将 -51 减去 59。

$$x=-\frac{110}{-20}$$

通过求根和消去 10，将分数 \frac{-110}{-20} 降低为最简分数。

$$x=\frac{11}{2}$$

使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对原始表达式进行因式分解。将 x_{1} 替换为 -\frac{2}{5}，将 x_{2} 替换为 \frac{11}{2}。

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

将所有表达式的形式从 p-\left(-q\right) 简化为 p+q。

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

将 x 加上 \frac{2}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

将 x 减去 \frac{11}{2}，运算方法是找到公分母，然后分子相减。如果可能，将所得分数化简为最简分数。

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

\frac{-5x-2}{-5} 乘以 \frac{-2x+11}{-2} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

求 -5 与 -2 的乘积。

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

抵消 -10 和 10 的最大公约数 10。

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

求值

$$22+51x-10x^{2}$$