求解 (2y+3)^2+y^2=4

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

求解 y 的值

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0.536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1.863324958$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2y+3\right)^{2}。

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

合并 4y^{2} 和 y^{2}，得到 5y^{2}。

$$5y^{2}+12y+9=4$$

将方程式两边同时减去 4。

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

将 9 减去 4，得到 5。

$$5y^{2}+12y+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，12 替换 b，并用 5 替换 c。

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

对 12 进行平方运算。

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

求 -20 与 5 的乘积。

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

将 -100 加上 144。

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

取 44 的平方根。

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} 的解。 将 2\sqrt{11} 加上 -12。

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

-12+2\sqrt{11} 除以 10。

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} 的解。 将 -12 减去 2\sqrt{11}。

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

-12-2\sqrt{11} 除以 10。

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2y+3\right)^{2}。

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

合并 4y^{2} 和 y^{2}，得到 5y^{2}。

$$5y^{2}+12y+9=4$$

将方程式两边同时减去 9。

$$5y^{2}+12y=4-9$$

将 4 减去 9，得到 -5。

$$5y^{2}+12y=-5$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

-5 除以 5。

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

将 x 项的系数 \frac{12}{5} 除以 2 得 \frac{6}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{6}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{6}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

将 \frac{36}{25} 加上 -1。

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

因数 y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

化简。

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{6}{5}。

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$