求解 (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

求解 x 的值

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

通过分组进行因式分解的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-3\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+5\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

要查找 x^{2}+10x+25 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

合并 4x^{2} 和 -x^{2}，得到 3x^{2}。

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

合并 -12x 和 -10x，得到 -22x。

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

将 9 减去 25，得到 -16。

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

将 23 添加到两侧。

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

-16 与 23 相加，得到 7。

$$3x^{2}-22x+7=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx+7。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 21 的所有此类整数对。

$$-1,-21 -3,-7$$

计算每对之和。

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

该解答是总和为 -22 的对。

$$a=-21 b=-1$$

将 3x^{2}-22x+7 改写为 \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)。

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 -1 中。

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-7。

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

若要找到方程解，请解 x-7=0 和 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-3\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+5\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

要查找 x^{2}+10x+25 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

合并 4x^{2} 和 -x^{2}，得到 3x^{2}。

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

合并 -12x 和 -10x，得到 -22x。

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

将 9 减去 25，得到 -16。

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

将 23 添加到两侧。

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

-16 与 23 相加，得到 7。

$$3x^{2}-22x+7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-22 替换 b，并用 7 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

对 -22 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

求 -12 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

将 -84 加上 484。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

取 400 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 的相反数是 22。

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{22±20}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{22±20}{6} 的解。 将 20 加上 22。

$$x=\frac{42}{6}$$

42 除以 6。

$$x=7$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{22±20}{6} 的解。 将 22 减去 20。

$$x=\frac{2}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{2}{6} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-3\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+5\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

要查找 x^{2}+10x+25 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

合并 4x^{2} 和 -x^{2}，得到 3x^{2}。

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

合并 -12x 和 -10x，得到 -22x。

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

将 9 减去 25，得到 -16。

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

将 16 添加到两侧。

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

-23 与 16 相加，得到 -7。

$$3x^{2}-22x=-7$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{22}{3} 除以 2 得 -\frac{11}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

将 \frac{121}{9} 加上 -\frac{7}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{3}。

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$