求解 (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+4\right)^{2}。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(3x-2\right)^{2}。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

要查找 9x^{2}-12x+4 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

合并 -9x^{2} 和 -40x^{2}，得到 -49x^{2}。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

将 205 添加到两侧。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

-4 与 205 相加，得到 201。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

使用分配律将 -5x 乘以 7-3x。

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

使用分配律将 -35x+15x^{2} 乘以 7+3x，并组合同类项。

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

合并 16x 和 -245x，得到 -229x。

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

合并 4x^{2} 和 -49x^{2}，得到 -45x^{2}。

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

合并 -229x 和 12x，得到 -217x。

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

16 与 201 相加，得到 217。

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

整理方程式，将其化为标准形式。按幂从高到低的顺序排列各项。

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 217，q 除以首项系数 45。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 除以 x-1 得 45x^{2}-217。 求解结果等于 0 的方程式。

$$45x^{2}-217=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 45、用 0 替换 b、用 -217 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

完成计算。

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 45x^{2}-217=0 的解。

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$