求解 (2x+10)^3=-27

$$( 2 x + 10 ) ^ { 3 } = - 27$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

$$x=\frac{-17+3\sqrt{3}i}{4}\approx -4.25+1.299038106i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-17}{4}\approx -4.25-1.299038106i$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} 展开 \left(2x+10\right)^{3}。

$$8x^{3}+120x^{2}+600x+1000=-27$$

将 27 添加到两侧。

$$8x^{3}+120x^{2}+600x+1000+27=0$$

1000 与 27 相加，得到 1027。

$$8x^{3}+120x^{2}+600x+1027=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 1027，q 除以首项系数 8。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{1027}{8},±\frac{1027}{4},±\frac{1027}{2},±1027,±\frac{79}{8},±\frac{79}{4},±\frac{79}{2},±79,±\frac{13}{8},±\frac{13}{4},±\frac{13}{2},±13,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-\frac{13}{2}$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 8x^{3}+120x^{2}+600x+1027 除以 2\left(x+\frac{13}{2}\right)=2x+13 得 4x^{2}+34x+79。 求解结果等于 0 的方程式。

$$4x^{2}+34x+79=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 34 替换 b、用 79 替换 c。

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 4\times 79}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$x=\frac{-34±\sqrt{-108}}{8}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 4x^{2}+34x+79=0 的解。

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-17}{4} x=\frac{-17+3i\sqrt{3}}{4}$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-\frac{13}{2} x=\frac{-3i\sqrt{3}-17}{4} x=\frac{-17+3i\sqrt{3}}{4}$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} 展开 \left(2x+10\right)^{3}。

$$8x^{3}+120x^{2}+600x+1000=-27$$

将 27 添加到两侧。

$$8x^{3}+120x^{2}+600x+1000+27=0$$

1000 与 27 相加，得到 1027。

$$8x^{3}+120x^{2}+600x+1027=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 1027，q 除以首项系数 8。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{1027}{8},±\frac{1027}{4},±\frac{1027}{2},±1027,±\frac{79}{8},±\frac{79}{4},±\frac{79}{2},±79,±\frac{13}{8},±\frac{13}{4},±\frac{13}{2},±13,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-\frac{13}{2}$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 8x^{3}+120x^{2}+600x+1027 除以 2\left(x+\frac{13}{2}\right)=2x+13 得 4x^{2}+34x+79。 求解结果等于 0 的方程式。

$$4x^{2}+34x+79=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 34 替换 b、用 79 替换 c。

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 4\times 79}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$x=\frac{-34±\sqrt{-108}}{8}$$

由于实数域中未定义负数的平方根，因此无解。

$$x\in \emptyset$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-\frac{13}{2}$$