求解 (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

求解 k 的值

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2k-3\right)^{2}。

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

使用分配律将 -4 乘以 3-2k。

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

将 9 减去 12，得到 -3。

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

合并 -12k 和 8k，得到 -4k。

$$4k^{2}-4k-3<0$$

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$4k^{2}-4k-3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 -4 替换 b、用 -3 替换 c。

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$k=\frac{4±8}{8}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 k=\frac{4±8}{8} 的解。

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

若要使积为负，k-\frac{3}{2} 和 k+\frac{1}{2} 的正负号必须相反。 考虑 k-\frac{3}{2} 为正，且 k+\frac{1}{2} 为负的情况。

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

这不适用于任何 k。

$$k\in \emptyset$$

考虑 k+\frac{1}{2} 为正，且 k-\frac{3}{2} 为负的情况。

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

同时满足两个不等式的解是 k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)。

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

最终解是获得的解的并集。

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$