求解 (2k+5)^2-40>0

$$( 2 k + 5 ) ^ { 2 } - 40 > 0$$

求解 k 的值

$$k\in \left(-\infty,-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\cup \left(\sqrt{10}-\frac{5}{2},\infty\right)$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2k+5\right)^{2}。

$$4k^{2}+20k+25-40>0$$

将 25 减去 40，得到 -15。

$$4k^{2}+20k-15>0$$

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$4k^{2}+20k-15=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 4、用 20 替换 b、用 -15 替换 c。

$$k=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

完成计算。

$$k=\frac{-20±8\sqrt{10}}{8}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 k=\frac{-20±8\sqrt{10}}{8} 的解。

$$k=\sqrt{10}-\frac{5}{2} k=-\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$4\left(k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\right)\left(k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\right)>0$$

若要使积为正，k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) 和 k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) 必须同时为负或同时为正。 考虑 k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) 和 k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) 均为负的情况。

$$k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)<0 k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)<0$$

同时满足两个不等式的解是 k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}。

$$k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

考虑 k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) 和 k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) 均为正的情况。

$$k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)>0 k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)>0$$

同时满足两个不等式的解是 k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}。

$$k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

最终解是获得的解的并集。

$$k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\text{; }k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$