求解 (16-x)(9-x)=112

$$( 16 - x ) ( 9 - x ) = 112$$

求解 x 的值

$$x = \frac{25 - \sqrt{497}}{2} \approx 1.353251595$$

$$x = \frac{\sqrt{497} + 25}{2} \approx 23.646748405$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 16-x 乘以 9-x，并组合同类项。

$$144-25x+x^{2}=112$$

将方程式两边同时减去 112。

$$144-25x+x^{2}-112=0$$

将 144 减去 112，得到 32。

$$32-25x+x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-25x+32=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-25 替换 b，并用 32 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 32}}{2}$$

对 -25 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 32}}{2}$$

求 -4 与 32 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-128}}{2}$$

将 -128 加上 625。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{497}}{2}$$

-25 的相反数是 25。

$$x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{25±\sqrt{497}}{2} 的解。 将 \sqrt{497} 加上 25。

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{25±\sqrt{497}}{2} 的解。 将 25 减去 \sqrt{497}。

$$x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 16-x 乘以 9-x，并组合同类项。

$$144-25x+x^{2}=112$$

将方程式两边同时减去 144。

$$-25x+x^{2}=112-144$$

将 112 减去 144，得到 -32。

$$-25x+x^{2}=-32$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-25x=-32$$

将 x 项的系数 -25 除以 2 得 -\frac{25}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{25}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{25}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-32+\frac{625}{4}$$

将 \frac{625}{4} 加上 -32。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{497}{4}$$

因数 x^{2}-25x+\frac{625}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{497}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{497}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{497}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{497}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{25}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$