求解 (1-1/2a)^2+8(a-1/4)^2+(3/2a+1)(3/2a-1)+5a

$$( 1 - \frac { 1 } { 2 } a ) ^ { 2 } + 8 ( a - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 3 } { 2 } a + 1 ) ( \frac { 3 } { 2 } a - 1 ) + 5 a$$

求值

$$\frac{21a^{2}+1}{2}$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(1-\frac{1}{2}a\right)^{2}。

$$1-a+\frac{1}{4}a^{2}+8\left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$1-a+\frac{1}{4}a^{2}+8\left(a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

使用分配律将 8 乘以 a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16}。

$$1-a+\frac{1}{4}a^{2}+8a^{2}-4a+\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

合并 \frac{1}{4}a^{2} 和 8a^{2}，得到 \frac{33}{4}a^{2}。

$$1-a+\frac{33}{4}a^{2}-4a+\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

合并 -a 和 -4a，得到 -5a。

$$1-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

1 与 \frac{1}{2} 相加，得到 \frac{3}{2}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

请考虑 \left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\left(\frac{3}{2}a\right)^{2}-1+5a$$

展开 \left(\frac{3}{2}a\right)^{2}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}a^{2}-1+5a$$

计算 2 的 \frac{3}{2} 乘方，得到 \frac{9}{4}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\frac{9}{4}a^{2}-1+5a$$

合并 \frac{33}{4}a^{2} 和 \frac{9}{4}a^{2}，得到 \frac{21}{2}a^{2}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{21}{2}a^{2}-1+5a$$

将 \frac{3}{2} 减去 1，得到 \frac{1}{2}。

$$\frac{1}{2}-5a+\frac{21}{2}a^{2}+5a$$

合并 -5a 和 5a，得到 0。

$$\frac{1}{2}+\frac{21}{2}a^{2}$$

展开

$$\frac{21a^{2}+1}{2}$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(1-\frac{1}{2}a\right)^{2}。

$$1-a+\frac{1}{4}a^{2}+8\left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

使用二项式定理 \left(p-q\right)^{2}=p^{2}-2pq+q^{2} 展开 \left(a-\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$1-a+\frac{1}{4}a^{2}+8\left(a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

使用分配律将 8 乘以 a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{16}。

$$1-a+\frac{1}{4}a^{2}+8a^{2}-4a+\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

合并 \frac{1}{4}a^{2} 和 8a^{2}，得到 \frac{33}{4}a^{2}。

$$1-a+\frac{33}{4}a^{2}-4a+\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

合并 -a 和 -4a，得到 -5a。

$$1-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

1 与 \frac{1}{2} 相加，得到 \frac{3}{2}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)+5a$$

请考虑 \left(\frac{3}{2}a+1\right)\left(\frac{3}{2}a-1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\left(\frac{3}{2}a\right)^{2}-1+5a$$

展开 \left(\frac{3}{2}a\right)^{2}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}a^{2}-1+5a$$

计算 2 的 \frac{3}{2} 乘方，得到 \frac{9}{4}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{33}{4}a^{2}+\frac{9}{4}a^{2}-1+5a$$

合并 \frac{33}{4}a^{2} 和 \frac{9}{4}a^{2}，得到 \frac{21}{2}a^{2}。

$$\frac{3}{2}-5a+\frac{21}{2}a^{2}-1+5a$$

将 \frac{3}{2} 减去 1，得到 \frac{1}{2}。

$$\frac{1}{2}-5a+\frac{21}{2}a^{2}+5a$$

合并 -5a 和 5a，得到 0。

$$\frac{1}{2}+\frac{21}{2}a^{2}$$