求解 (1-1/11^{2})*(1-1/12^{2})*(1-1/13^2)*(1-1/14^2)*(1-frac{1}{15^2})*(1-frac{1}{16^2})

$$( 1 - \frac { 1 } { 11 ^ { 2 } } ) \cdot ( 1 - \frac { 1 } { 12 ^ { 2 } } ) \cdot ( 1 - \frac { 1 } { 13 ^ { 2 } } ) \cdot ( 1 - \frac { 1 } { 14 ^ { 2 } } ) \cdot ( 1 - \frac { 1 } { 15 ^ { 2 } } ) \cdot ( 1 - \frac { 1 } { 16 ^ { 2 } } )$$

求值

$$\frac{85}{88}\approx 0.965909091$$

求解步骤

计算 2 的 11 乘方，得到 121。

$$\left(1-\frac{1}{121}\right)\left(1-\frac{1}{12^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{121}{121}。

$$\left(\frac{121}{121}-\frac{1}{121}\right)\left(1-\frac{1}{12^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

由于 \frac{121}{121} 和 \frac{1}{121} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{121-1}{121}\left(1-\frac{1}{12^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 121 减去 1，得到 120。

$$\frac{120}{121}\left(1-\frac{1}{12^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

计算 2 的 12 乘方，得到 144。

$$\frac{120}{121}\left(1-\frac{1}{144}\right)\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{144}{144}。

$$\frac{120}{121}\left(\frac{144}{144}-\frac{1}{144}\right)\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

由于 \frac{144}{144} 和 \frac{1}{144} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{120}{121}\times \frac{144-1}{144}\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 144 减去 1，得到 143。

$$\frac{120}{121}\times \frac{143}{144}\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

\frac{120}{121} 乘以 \frac{143}{144} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。

$$\frac{120\times 143}{121\times 144}\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

以分数形式 \frac{120\times 143}{121\times 144} 进行乘法运算。

$$\frac{17160}{17424}\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

通过求根和消去 264，将分数 \frac{17160}{17424} 降低为最简分数。

$$\frac{65}{66}\left(1-\frac{1}{13^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

计算 2 的 13 乘方，得到 169。

$$\frac{65}{66}\left(1-\frac{1}{169}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{169}{169}。

$$\frac{65}{66}\left(\frac{169}{169}-\frac{1}{169}\right)\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

由于 \frac{169}{169} 和 \frac{1}{169} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{65}{66}\times \frac{169-1}{169}\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 169 减去 1，得到 168。

$$\frac{65}{66}\times \frac{168}{169}\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

\frac{65}{66} 乘以 \frac{168}{169} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。

$$\frac{65\times 168}{66\times 169}\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

以分数形式 \frac{65\times 168}{66\times 169} 进行乘法运算。

$$\frac{10920}{11154}\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

通过求根和消去 78，将分数 \frac{10920}{11154} 降低为最简分数。

$$\frac{140}{143}\left(1-\frac{1}{14^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

计算 2 的 14 乘方，得到 196。

$$\frac{140}{143}\left(1-\frac{1}{196}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{196}{196}。

$$\frac{140}{143}\left(\frac{196}{196}-\frac{1}{196}\right)\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

由于 \frac{196}{196} 和 \frac{1}{196} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{140}{143}\times \frac{196-1}{196}\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 196 减去 1，得到 195。

$$\frac{140}{143}\times \frac{195}{196}\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

\frac{140}{143} 乘以 \frac{195}{196} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。

$$\frac{140\times 195}{143\times 196}\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

以分数形式 \frac{140\times 195}{143\times 196} 进行乘法运算。

$$\frac{27300}{28028}\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

通过求根和消去 364，将分数 \frac{27300}{28028} 降低为最简分数。

$$\frac{75}{77}\left(1-\frac{1}{15^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

计算 2 的 15 乘方，得到 225。

$$\frac{75}{77}\left(1-\frac{1}{225}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{225}{225}。

$$\frac{75}{77}\left(\frac{225}{225}-\frac{1}{225}\right)\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

由于 \frac{225}{225} 和 \frac{1}{225} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{75}{77}\times \frac{225-1}{225}\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

将 225 减去 1，得到 224。

$$\frac{75}{77}\times \frac{224}{225}\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

\frac{75}{77} 乘以 \frac{224}{225} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。

$$\frac{75\times 224}{77\times 225}\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

以分数形式 \frac{75\times 224}{77\times 225} 进行乘法运算。

$$\frac{16800}{17325}\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

通过求根和消去 525，将分数 \frac{16800}{17325} 降低为最简分数。

$$\frac{32}{33}\left(1-\frac{1}{16^{2}}\right)$$

计算 2 的 16 乘方，得到 256。

$$\frac{32}{33}\left(1-\frac{1}{256}\right)$$

将 1 转换为分数 \frac{256}{256}。

$$\frac{32}{33}\left(\frac{256}{256}-\frac{1}{256}\right)$$

由于 \frac{256}{256} 和 \frac{1}{256} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{32}{33}\times \frac{256-1}{256}$$

将 256 减去 1，得到 255。

$$\frac{32}{33}\times \frac{255}{256}$$

\frac{32}{33} 乘以 \frac{255}{256} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。

$$\frac{32\times 255}{33\times 256}$$

以分数形式 \frac{32\times 255}{33\times 256} 进行乘法运算。

$$\frac{8160}{8448}$$

通过求根和消去 96，将分数 \frac{8160}{8448} 降低为最简分数。

$$\frac{85}{88}$$

因式分解

$$\frac{5 \cdot 17}{2 ^ {3} \cdot 11} = 0.9659090909090909$$