求解 (1+sqrt{2}+sqrt{3})(2+sqrt{2}-sqrt{6})-(sqrt{3}-1)^2

$$( 1 + \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } ) ( 2 + \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } ) - ( \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 }$$

求值

$$2\sqrt{3}\approx 3.464101615$$

求解步骤

使用分配律将 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} 乘以 2+\sqrt{2}-\sqrt{6}，并组合同类项。

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+2-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

2 与 2 相加，得到 4。

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

合并 -2\sqrt{3} 和 2\sqrt{3}，得到 0。

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

若要将 \sqrt{3} 和 \sqrt{2} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

合并 -\sqrt{6} 和 \sqrt{6}，得到 0。

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

因式分解 6=3\times 2。 将乘积 \sqrt{3\times 2} 的平方根重写为平方根 \sqrt{3}\sqrt{2} 的乘积。

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

将 \sqrt{3} 与 \sqrt{3} 相乘，得到 3。

$$4+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

合并 3\sqrt{2} 和 -3\sqrt{2}，得到 0。

$$4-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}。

$$4-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1\right)$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)$$

3 与 1 相加，得到 4。

$$4-\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

要查找 4-2\sqrt{3} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$4-4+2\sqrt{3}$$

将 4 减去 4，得到 0。

$$2\sqrt{3}$$