求解 (1/4r-s+2/3t)^2-(r+1/4s)^2-(s-2/3t)^2+frac{1}{16}(r+s)(15r+s)

$$( \frac { 1 } { 4 } r - s + \frac { 2 } { 3 } t ) ^ { 2 } - ( r + \frac { 1 } { 4 } s ) ^ { 2 } - ( s - \frac { 2 } { 3 } t ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 16 } ( r + s ) ( 15 r + s )$$

求值

$$\frac{rt}{3}$$

求解步骤

对 \frac{1}{4}r-s+\frac{2}{3}t 进行平方运算。

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}。

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2}\right)-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

要查找 r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-r^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 \frac{1}{16}r^{2} 和 -r^{2}，得到 -\frac{15}{16}r^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 -\frac{1}{2}rs 和 -\frac{1}{2}rs，得到 -rs。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 s^{2} 和 -\frac{1}{16}s^{2}，得到 \frac{15}{16}s^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}\right)+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

要查找 s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-s^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 \frac{15}{16}s^{2} 和 -s^{2}，得到 -\frac{1}{16}s^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 -\frac{4}{3}st 和 \frac{4}{3}st，得到 0。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 \frac{4}{9}t^{2} 和 -\frac{4}{9}t^{2}，得到 0。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{16} 乘以 r+s。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\left(\frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s\right)\left(15r+s\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s 乘以 15r+s，并组合同类项。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{15}{16}r^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

合并 -\frac{15}{16}r^{2} 和 \frac{15}{16}r^{2}，得到 0。

$$-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

合并 -rs 和 rs，得到 0。

$$\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}s^{2}$$

合并 -\frac{1}{16}s^{2} 和 \frac{1}{16}s^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{3}rt$$

展开

$$\frac{rt}{3}$$

求解步骤

对 \frac{1}{4}r-s+\frac{2}{3}t 进行平方运算。

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}。

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2}\right)-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

要查找 r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-r^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 \frac{1}{16}r^{2} 和 -r^{2}，得到 -\frac{15}{16}r^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 -\frac{1}{2}rs 和 -\frac{1}{2}rs，得到 -rs。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 s^{2} 和 -\frac{1}{16}s^{2}，得到 \frac{15}{16}s^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}\right)+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

要查找 s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-s^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 \frac{15}{16}s^{2} 和 -s^{2}，得到 -\frac{1}{16}s^{2}。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 -\frac{4}{3}st 和 \frac{4}{3}st，得到 0。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

合并 \frac{4}{9}t^{2} 和 -\frac{4}{9}t^{2}，得到 0。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{16} 乘以 r+s。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\left(\frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s\right)\left(15r+s\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s 乘以 15r+s，并组合同类项。

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{15}{16}r^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

合并 -\frac{15}{16}r^{2} 和 \frac{15}{16}r^{2}，得到 0。

$$-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

合并 -rs 和 rs，得到 0。

$$\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}s^{2}$$

合并 -\frac{1}{16}s^{2} 和 \frac{1}{16}s^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{3}rt$$