求解 z^2-25z+16=0

$${ z }^{ 2 } -25z+16 = 0$$

求解 z 的值

$$z = \frac{\sqrt{561} + 25}{2} \approx 24.342719282$$

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}\approx 0.657280718$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$z^{2}-25z+16=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-25 替换 b，并用 16 替换 c。

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

对 -25 进行平方运算。

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 16}}{2}$$

求 -4 与 16 的乘积。

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-64}}{2}$$

将 -64 加上 625。

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{561}}{2}$$

-25 的相反数是 25。

$$z=\frac{25±\sqrt{561}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} 的解。 将 \sqrt{561} 加上 25。

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} 的解。 将 25 减去 \sqrt{561}。

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$z^{2}-25z+16=0$$

将等式的两边同时减去 16。

$$z^{2}-25z+16-16=-16$$

16 减去它自己得 0。

$$z^{2}-25z=-16$$

将 x 项的系数 -25 除以 2 得 -\frac{25}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{25}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$z^{2}-25z+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{25}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=-16+\frac{625}{4}$$

将 \frac{625}{4} 加上 -16。

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=\frac{561}{4}$$

因数 z^{2}-25z+\frac{625}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{561}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{561}{4}}$$

化简。

$$z-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{561}}{2} z-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{561}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{25}{2}。

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$