求解 z^2-25*10^-12z+16*10^-12=0

$${ z }^{ 2 } -25 \times { 10 }^{ -12 } z+16 \times { 10 }^{ -12 } = 0$$

求解 z 的值

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}\approx 1.25 \cdot 10^{-11}+0.000004i$$

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}\approx 1.25 \cdot 10^{-11}-0.000004i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-\frac{1}{40000000000} 替换 b，并用 \frac{1}{62500000000} 替换 c。

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{40000000000}\right)^{2}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

对 -\frac{1}{40000000000} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

求 -4 与 \frac{1}{62500000000} 的乘积。

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-\frac{1}{15625000000}}}{2}$$

将 -\frac{1}{15625000000} 加上 \frac{1}{1600000000000000000000}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{-\frac{102399999999}{1600000000000000000000}}}{2}$$

取 -\frac{102399999999}{1600000000000000000000} 的平方根。

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

-\frac{1}{40000000000} 的相反数是 \frac{1}{40000000000}。

$$z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} 的解。 将 \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} 加上 \frac{1}{40000000000}。

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{2\times 40000000000}$$

\frac{1+i\sqrt{102399999999}}{40000000000} 除以 2。

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} 的解。 将 \frac{1}{40000000000} 减去 \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000}。

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{2\times 40000000000}$$

\frac{1-i\sqrt{102399999999}}{40000000000} 除以 2。

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

现已求得方程式的解。

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{62500000000}。

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}-\frac{1}{62500000000}=-\frac{1}{62500000000}$$

\frac{1}{62500000000} 减去它自己得 0。

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z=-\frac{1}{62500000000}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{40000000000} 除以 2 得 -\frac{1}{80000000000}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{80000000000} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{1}{62500000000}+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{80000000000} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{1}{62500000000}+\frac{1}{6400000000000000000000}$$

将 \frac{1}{6400000000000000000000} 加上 -\frac{1}{62500000000}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

因数 z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}}$$

化简。

$$z-\frac{1}{80000000000}=\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z-\frac{1}{80000000000}=-\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{80000000000}。

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$